logica Matematicas

UNIDAD 1

LOGICA MATEMATICAS

INTRODUCCIÓN;

La lógica es la disciplina que que trata de los métodos, y forma de los razonamientos humano. Ofrece reglas y técnicas para determinar si un argumento es valido o no. Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüedades del lenguaje ordinario o enunciado, respecto de la cual   se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. es decir todo preposición esta asociado a un valor de verdad la cual puede ser verdadero o falso.

EJ:

*oriente es campeón "no"

*la formula del agua es h4o "si"

NOTACIÓN Y CONECTIVOS LÓGICOS:

Son proposiciones simples (ATÓMICAS), se acostumbran a anotar con letras minusculas del abecedario. A Partir de las proposiciones simples se pueden generar otras proposiciones simples o compuesta (MOLECULARES), utilizando ciertas constante proposiciones , llamadas conectivos lógicos, tales como;

CONECTIVO	NOTACION
“NO”	“~”	NEGACION
“Y”	“^”	CONJUNCION
“O”	“v”	DISYUNCION
“SI ENTONCES ”	“->”	IMPLICACION CONDICIONAL
“SI Y SOLO SI”	“<-”	BI-CONDICONAL DE DOBLE IMPLICACION
“O”EXCLUYENTE	“V”	DISYUNCION EXCLUSIVA

OPERACIONES PROPOSICIONALES:

Dada una o dos operaciones proposicionales cuyo valores de verdad se conocen, las proposiciones entre proposiciones y caracterizar la proposicion resultante de su valor de verdad.

Esta son:

P  = "5+4<9"                                                                    P = F

Q ="El hombre es el arquitecto de su propio destino"    Q = V         ~P=V

NEGACIÓN

Una proposición de la negación de la P es la proposición no P y se escribe "~P".

tabla de verdad

P  ~P

v    f

f     v

CONJUNCIÓN "V"

Sea PyQ dos proposiciones se llama conjunción de P^Q a la proposición que se obtiene uniendolas por medio del conectivo i, se escribe "P^Q"

P   Q   P^Q

v   v      v

v   f       f

f    v      f

f    f       f

DISYUNCIÓN

Sean P^Q dos proposiciones se llama disyunción de P^Q a la proposición que se obtiene uniendo por medio de conectivos "O", se escribe así "P^Q"

P   Q   "P^Q"

v   v        v

v   f         v

f    v        v

f    f         f

IMPLICACIÓN CONDICIONAL 

Sea PyQ dos proposiciones se llama doble implicación de PyQ a la proposición que se obtiene uniendolas por medio de conectivos "si y solo si", solo se escribe "P->", y se lee "si entonces Q". donde Pes la proposición antecedente y Q proposición consecuente.

P   Q    "P->"

v    v     v

v    f      f

f     v     v

f     f      v

Definicion  P->Q=~P^Q.

BICONDICIONAL

Sea P y Q dos proposiciones se llama doble implicación de P Y Q a la proposición que se obtiene uniendolas por medio de conectivos de "si y solo si", se escribe "P<¬>Q", se lee "P si y solo si Q".

P   Q   P<¬>Q

v   v         v

v   f          f

f    v         f

f    f         v

definicion P<¬>Q=~(~P¬>Q)v(Q¬>P).

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA 

Sean P y Q dos proposiciones la disyunción es la proposición que se obtiene uniendolas por medio de los conectivos concluyentes, se escribe "PvQ", y se lee "P o excluyente Q" .

P   Q    PvQ

v    v      f

v    f      v

f     v     v

f     f      f

FORMULAS PROPOSICIONALES 

Una formula proposicional es una combinacion de proposiciones y conectivos logicos que simboliza a una proposición compuesta  o molecular.

EJ:

°)(P^Q)¬>~

°)(Pv~Q)¬>(~QvR)

°)P^Q¬>R

TABLA DE VALORES DE VERDAD

El valor de verdad de una formula proposicional depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que las componen. es decir se debe analizar todas las posibles combinaciones de valores de verdad las cuales se dan en la primera columna. Por tanto en una formula proposicional intervienen "n" proposiciones simples, entones en la tabla de valores de verdad, habrá "2^n" combinaciones diferentes.

CLASIFICACIÓN DE FORMULAS PROPOSICIONALES

Las formulas proposicionales (formulas compuestas se clasifican según el valor de verdad de las diferentes combinaciones entre proposiciones simples , las cuales son: tautologia, contradiccion y contingencia).

TAUTOLOGÍA

Es una formula proposicional que es verdadera para cualquier valor de verdad de las preposiciones que la componen.

CONTRADICCIÓN 

Es una formula proposicional que es falsa para cualquier valor de verdad de las preposiciones que la componen.

CONTINGENCIA 

Es una formula proposicional que no es tautología ni contradicción.

ÁLGEBRO DE PREPOSICIONES 

son operaciones lógicas que se realizan en una formula proposicional, Aplicando adecuadamente ciertas reglas básicas llamadas leyes lógicas es decir al igual que el álgebra básica donde las simplificaciones de expresiones algebraicas es muy importante en logica tambien existe la necesidad de simplificar formulas proposicionales completas a través de ciertas equivalencias llamadas leyes lógicas.

LEYES LÓGICAS

Son formulas proposicionales lógicamente equivalentes, las cuales damos a continuación:

LEYES DE IMPOTENCIA

P^P=P;PvP=P

LEYES CONMUTATIVA

P^Q=Q^P;

PvQ=QvP;

LEY ASOCIATIVA

 Pv(QvR)=(PvQ)vR

 P^(Q^R)=(P^Q)^R

LEYES DE NEGACIÓN 

~(~P)=P

P^~P=F

Pv~P=V

LEYES DE IDENTIDAD

PvF=P;P^V=P

LEYES DE MORGAN 

~(PvQ)=~P^Q

~(P^Q)=~Pv~Q

DEFINICIÓN DE IMPLICACIÓN 

P¬>Q=^PvQ

LEYES DISTRIBUTIVAS 

Pv(QvR)=(PvQ)^(PvR)

P^(QvR)=(PvQ)^(P^R)

LEYES DE ABSORCIÓN

P^(PvQ)=P

Pv(P^Q)=P

P^F=F;PvV=V

DEFINICIÓN DE DOBLE IMPLICACIÓN 

P<¬>Q=(P¬>Q)^(Q¬>P)

DEFINICIÓN DE DISYUNCIÓN EXCLUSIVA 

(PvQ)=~(Q<¬>Q)

SIMPLIFICACIÓN DE FORMULAS PROPOSICIONALES

Se trata de transformar una formula proposicional en otra equivalente a ella pero lo mas reducida posible. para lo cual se debe usar lo mas oportuna y correctamente las leyes logicas. asi mismo debe especificarse en cada paso la ley o leyes que fueron utilizadas.

EJ:

SIMPLIFICAR LA SIGUIENTE FORMULA PROPOSICIONAL

°)[(~PvQ)^(~Q¬>P)]¬>(P^~Q)
   [(~PvQ)^(~(~Q)vP)]¬>(P^~Q)   "Definición de implicación"
   [(~PvQ)^(QvP)]¬>(P^~Q)   "Negacion"
   [(Qv~P)v(QvP)]¬>(P^~Q)   "Conmutativa"

   [Qv(~P^P)]¬>(P^~Q)     "Distributiva
   [QvF]¬>(P^~Q)   "Negación"
   Q¬>(Pv~Q)   "Identidad"

   ~Qv(P^~Q)   "Implicación"

    ~Q "Ley de absorción"

CIRCUITOS LOGICOS

Un circuito con un interruptor puede estar abierto o cerrado cuando el interruptor, está abierto no permite el paso de corriente, mientras cuando está cerrado si lo permite. si asociamos un interruptor a una proposición intuitivamente sabemos que en álgebra de circuitos la "v", indica que el interruptor está cerrado y la "f" está abierto así el circuito lógico se representa de esta manera.

GENERADOR

CIRCUITO EN SERIE Y PARALELO

Las operaciones proposicionales se puede representar mediantes circuitos lógicos con tantos interruptores como proposiciones que componen dicho circuito , combinados en serie o paralelo según el conectivo lógico que une las proposiciones.

CIRCUITOS EN SERIE

La conjugación de dos proposiciones (P^Q) esta representada por un circuito en serie.

CIRCUITO EN PARALELO

La difusión de dos proposiciones esta representada por un circuito lógico en paralelo.
 EJ;

INFERENCIA LÓGICA 

Se debe entender, a un razonamiento valido en el que a partir de un conjunto de premisas (proposiciones), se obtiene un resultado llamado conclusión. Un razonamiento es valido si solamente si la conjugación de las premisas implica la conclusión. es decir si las premisas son todas verdaderas entonces las conclusiones que se derivan de ellas logicamente a de ser verdaderas, sin embargo una o mas premisas son falsas la conjugación de todas las premisas serán falsa.

REGLA DE INFERENCIA

A todo el momento universalmente correcto (formas correctas de razonamiento), que representan métodos generales de razonamiento valido.

FUNCIONES 

Una función proposicional es una variable x, es toda expresión en la que x representa al sujeto(objeto), perteneciente a cierto conjunto lo cual se convierte en proposición para cada especificación de x. es decir es una expresión  que se convierte en proposición al sustituir la variable x con un objeto matemático, se dice que "P", es una función proposicional. así mismo existe, funciones proposicionales con mas de una variable.

CUANTIFICACIÓN

A partir de funciones proposicionales se puede obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación para ellos introducimos los símbolos . Ʉ:Ǝ, llamados cuantificadores universal, existencial respectivamente. los cuales asociados a la variable x expresan los siguiente;

ɄX, para expresar,"para todo x"o"cualquiera que sea x"
ƎX,para expresar "existe algún x, tal que" o"existe al menos un x, tal que"
ɄX:P(X); se lee "para todo X, se verifica P(X)"
ƎX/P(X)se lee "exista algún X , tal que se verifica P(X)".